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[MATHS] Divisibilité par 7 en image

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brusicor02
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[MATHS] Divisibilité par 7 en image

Message par brusicor02 »

Bonjour,

A l'école, vous avez appris à reconnaître si un nombre est divisible par 2, par 3, par 4, par 6 et peut-être par 8 ou 11. Mais comment savoir si un nombre est divisible par 7 ? Voilà le graphe qui va vous simplifier la vie :

Image
Un jeu de l'oie de la divisibilité si vous voulez

Alors, comment cela marche ? Vous avez des flèches rouges et des flèches bleues, chacune avec sa fonction : en rouge, on augmente le chiffre, en bleu on diminue en dizaine. Comment ça, ce n'est pas clair ?

Prenons un exemple : est-ce que 4823 est divisible par 7 ?
  • on place son petit pion sur la case départ 0.
  • on prend le premier chiffre à partir de la gauche : 4. On se déplace de 4 flèches rouges : 0 $\rightarrow$ 4
  • on va passer des milliers aux centaines, on suit la flèche bleue : 4 $\rightarrow$ 5
  • on prend le second chiffre : 8. On se déplace de 8 flèches rouges : 5 $\rightarrow$ 6
  • on suit la flèche bleue : 6 $\rightarrow$ 4
  • on prend le troisième chiffre : 2. On se déplace de 2 flèches rouges : 4 $\rightarrow$ 6
  • on suit la flèche bleue : 6 $\rightarrow$ 4
  • on prend le quatrième chiffre : 3. On se déplace de 3 flèches rouges : 4 $\rightarrow$ 0
  • on est revenu à la case 0 du départ, donc le nombre est divisible par 7.
Tout cela fonctionne uniquement sur les propriétés de la congruence modulo 7. :joie:
Je trouve cela plutôt pratique, et on peut faire des tables pour n'importe quel test de divisibilité.
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darrigan
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Re: [MATHS] Divisibilité par 7 en image

Message par darrigan »

Très fort !! :+1: Mais d'où tires-tu ce diagramme ? As-tu des liens à donner ?
Aide-toi et le forum t'aidera ! :mrblue:
brusicor02
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Re: [MATHS] Divisibilité par 7 en image

Message par brusicor02 »

Le diagramme provient du blog de Blogdemaths, voici d'ailleurs le lien vers l'article.

L'explication est basée sur la congruence sur les entiers : on défini la congruence de deux entiers $a$ et $b$ modulo $n$ par : $$ a \equiv b \, \left [ \, n \, \right ] \Leftrightarrow \exists \, k \in \mathbb Z , \, a = n \cdot k + b$$ Par exemple, 45 est congru avec 3 modulo 7 car $45 = 7 \times 6 + 3 $ et on le note $45 \equiv 3 \, \left [ \, 7 \, \right ]$. Comme vous pouvez le deviner, si le nombre est divisible par 7, cela veut dire qu'il est congru à 0 modulo 7

La congruence des entiers est compatible avec l'addition et le produit : $$\left.\begin{matrix}
a \equiv \alpha \, \left [ \, n \, \right ] \\ b \equiv \beta \, \left [ \, n \, \right ] \end{matrix}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a + b \equiv \alpha + \beta \, \left [ \, n \, \right ] \\ a \cdot b \equiv \alpha \cdot \beta \, \left [ \, n \, \right ] \end{matrix}\right.$$ Et c'est sur cette base que ce diagramme est formé.
  • Si on parcourt les flèches rouges, on ajoute 1 au nombre : $$1 \equiv 1 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
    0 \equiv 0 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
    1 \equiv 1 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
    2 \equiv 2 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
    ... \\
    6 \equiv 5 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
    7 \equiv 0 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
    8 \equiv 1 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
    ...$$
  • Si on parcourt les flèches bleues en partant de 1, on a bien l'ordre croissant des puissances : $$1 \equiv 1 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
    10 \equiv 3 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
    10^2 \equiv 2 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
    10^3 \equiv 6 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
    10^4 \equiv 4 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
    10^5 \equiv 5 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
    10^6 \equiv 1 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
    ...$$
Conclusion : suivre les flèches rouges ajoute 1 et suivre les flèches bleues multiplie par 10. On peut reconstituer le nombre avec ces opérations :
$$0 \xrightarrow[\rm rouge]{+4} 4 \xrightarrow[\rm bleue]{\times 10} 40 \xrightarrow[\rm rouge]{+8} 48 \xrightarrow[\rm bleue]{\times 10} 480 \xrightarrow[\rm rouge]{+2} 482 \xrightarrow[\rm bleue]{\times 10} 4820 \xrightarrow[\rm rouge]{+3} 4823$$ qui est exactement le chemin suivi. Si on retrouve le 0 initial, c'est que le nombre n'est pas congru à 0 modulo 7 et ainsi pas divisible par 7.
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