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Bonjour,

A l'école, vous avez appris à reconnaître si un nombre est divisible par 2, par 3, par 4, par 6 et peut-être par 8 ou 11. Mais comment savoir si un nombre est divisible par 7 ? Voilà le graphe qui va vous simplifier la vie :


Un jeu de l'oie de la divisibilité si vous voulez
Alors, comment cela marche ? Vous avez des flèches rouges et des flèches bleues, chacune avec sa fonction : en rouge, on augmente le chiffre, en bleu on diminue en dizaine. Comment ça, ce n'est pas clair ?

Prenons un exemple : est-ce que 4823 est divisible par 7 ?

• on place son petit pion sur la case départ 0.
• on prend le premier chiffre à partir de la gauche : 4. On se déplace de 4 flèches rouges : 0 $\rightarrow$ 4
• on va passer des milliers aux centaines, on suit la flèche bleue : 4 $\rightarrow$ 5
• on prend le second chiffre : 8. On se déplace de 8 flèches rouges : 5 $\rightarrow$ 6
• on suit la flèche bleue : 6 $\rightarrow$ 4
• on prend le troisième chiffre : 2. On se déplace de 2 flèches rouges : 4 $\rightarrow$ 6
• on suit la flèche bleue : 6 $\rightarrow$ 4
• on prend le quatrième chiffre : 3. On se déplace de 3 flèches rouges : 4 $\rightarrow$ 0
• on est revenu à la case 0 du départ, donc le nombre est divisible par 7.

Tout cela fonctionne uniquement sur les propriétés de la congruence modulo 7.
Je trouve cela plutôt pratique, et on peut faire des tables pour n'importe quel test de divisibilité.

Très fort !! Mais d'où tires-tu ce diagramme ? As-tu des liens à donner ?

Le diagramme provient du blog de Blogdemaths, voici d'ailleurs le lien vers l'article.

L'explication est basée sur la congruence sur les entiers : on défini la congruence de deux entiers $a$ et $b$ modulo $n$ par : $$ a \equiv b \, \left [ \, n \, \right ] \Leftrightarrow \exists \, k \in \mathbb Z , \, a = n \cdot k + b$$ Par exemple, 45 est congru avec 3 modulo 7 car $45 = 7 \times 6 + 3 $ et on le note $45 \equiv 3 \, \left [ \, 7 \, \right ]$. Comme vous pouvez le deviner, si le nombre est divisible par 7, cela veut dire qu'il est congru à 0 modulo 7

La congruence des entiers est compatible avec l'addition et le produit : $$\left.\begin{matrix}
a \equiv \alpha \, \left [ \, n \, \right ] \\ b \equiv \beta \, \left [ \, n \, \right ] \end{matrix}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a + b \equiv \alpha + \beta \, \left [ \, n \, \right ] \\ a \cdot b \equiv \alpha \cdot \beta \, \left [ \, n \, \right ] \end{matrix}\right.$$ Et c'est sur cette base que ce diagramme est formé.

• Si on parcourt les flèches rouges, on ajoute 1 au nombre : $$1 \equiv 1 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
  0 \equiv 0 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
  1 \equiv 1 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
  2 \equiv 2 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
  ... \\
  6 \equiv 5 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
  7 \equiv 0 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
  8 \equiv 1 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
  ...$$
• Si on parcourt les flèches bleues en partant de 1, on a bien l'ordre croissant des puissances : $$1 \equiv 1 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
  10 \equiv 3 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
  10^2 \equiv 2 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
  10^3 \equiv 6 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
  10^4 \equiv 4 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
  10^5 \equiv 5 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
  10^6 \equiv 1 \, \left [ \, 7 \, \right ] \\
  ...$$

Conclusion : suivre les flèches rouges ajoute 1 et suivre les flèches bleues multiplie par 10. On peut reconstituer le nombre avec ces opérations :
$$0 \xrightarrow[\rm rouge]{+4} 4 \xrightarrow[\rm bleue]{\times 10} 40 \xrightarrow[\rm rouge]{+8} 48 \xrightarrow[\rm bleue]{\times 10} 480 \xrightarrow[\rm rouge]{+2} 482 \xrightarrow[\rm bleue]{\times 10} 4820 \xrightarrow[\rm rouge]{+3} 4823$$ qui est exactement le chemin suivi. Si on retrouve le 0 initial, c'est que le nombre n'est pas congru à 0 modulo 7 et ainsi pas divisible par 7.