[MATHS] Cercle et signal carré

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brusicor02
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[MATHS] Cercle et signal carré

Messagepar brusicor02 » 02 Oct 2015, 01:39

Bonjour,

On tombe sur des choses intéressantes sur 9gag de temps en temps : http://9gag.com/gag/aNKRpvA/mathematics

C'est une jolie illustration de la décomposition de la fonction créneau en série de Fourier : $$f : t \mapsto \frac{4}{\pi} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin \left [ \, \left ( 2n+1 \right ) \, \omega \, t \, \right ]}{2n+1}$$ en posant $\omega = 2 \pi f$, $f$ étant la fréquence du signal carré.

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Re: [MATHS] Cercle et signal carré

Messagepar ecolami » 02 Oct 2015, 22:11

:salut: J'imagine que représenter un signal carré périodique avec une fonction trigonométrique n'a rien d'évident..(les maths ne sont pas mon domaine).
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Re: [MATHS] Cercle et signal carré

Messagepar darrigan » 02 Oct 2015, 22:45

En effet, très belle illustration pédagogique, avec ces disques qui tournent.

En lisant les commentaires en anglais, certains n'ont pas compris le lien entre le formule et l'animation des cercles.
Les cercles ont une vitesse de rotation qui dépend de la valeur dans le sinus ($\theta$, $3 \theta$, $5\theta$…), alors que leur rayon est indiqué par le facteur multiplicatif avant le sinus ($\frac{4}{\pi}$, $\frac{4}{3 \pi}$, $\frac{4}{5 \pi}$…)

Oui Ecolami, pas facile de créer des signaux contenant des angles (points non dérivables) seulement avec des sinusoïdes dérivables en tout point ! C'est pour cela que la somme est infinie, on ne peut tendre vers le signal carré parfait qu'en prenant une infinité de termes.

Je me demande s'il existe un logiciel qui permet de fabriquer des courbes en associant des cercles, ellipses ou autres formes, en les fixant sur d'autres cercles, ellipses ou autres… à la manière d'un spirographe. En connaissez-vous ?
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brusicor02
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Re: [MATHS] Cercle et signal carré

Messagepar brusicor02 » 03 Oct 2015, 03:53

Bonjour,

Pour cela, je ne pense pas qu'il y ait de formules miracles : il faut prendre un logiciel de géométrie dynamique et tout taper à la main. :-D

Pour ma part, j'ai essayé sur Geogebra de refaire différents signaux périodiques "composites", c'est clairement le signal carré qui est facile à cerner visuellement parlant.

Un signal en dents de scies est de la forme : $$f_\text{dents de scies} : t \mapsto \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \left ( -1 \right )^k \frac{\sin \left ( \, k \, \omega \, t \, \right )}{k}$$ Cela signifie que les sens de rotations doivent changer en passant du cercle $n$ au cercle $n+1$.

Pour un signal triangulaire, c'est encore pire puisqu'on a le rayon des cercles qui diminuent très rapidement : $$f_\text{triangulaire} : t \mapsto \frac{8}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty} \left ( -1 \right )^k \frac{\sin \left [ \, \left ( 2k+1 \right ) \, \omega \, t \, \right ]}{\left ( 2k+1 \right )^2}$$ Le signal carré, avec toutes ses sinusoïdales impaires, est décidément bien jolie (malgré le phénomène de Gibbs qui fait un effet de bord).
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