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On utilise les transformées de Fourier quotidiennement, ces opérations qui permettent de transformer un signal temporel en une décomposition fréquentielle (c'est-à-dire en ses différentes harmoniques).

Si on part d'une fonction temporelle $f$, la transformée de Fourier $\mathcal F$ s'écrit : $$\mathcal{F} \left [ f \right ] : \omega \mapsto \int_{- \infty}^{+ \infty} f \left ( t \right ) \cdot e^{-i \, \omega \, t} \; \text{d}t$$ Prenons un signal porte, c'est-à-dire une fonction qui vaut 1 sur un intervalle de durée 1 et qui est nulle partout ailleurs : $$f : t \mapsto \left\{\begin{matrix}
1 & \text{ pour } t \in \left [ - \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right ] \; \; \; \; \; \; \\
0 & \text{ pour } t \in \mathbb R \setminus \left [ - \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right ] &
\end{matrix}\right.$$ On a choisi la fonction de manière à ce qu'elle soit paire, c'est à dire que $\forall \, t \in \mathbb R , \; f(-t) = f(t)$. L'exponentielle utilisée dans la transformée est complexe : elle a donc une partie réelle et une partie imaginaire qui sont les fonctions cosinus et sinus correspondantes. $$\forall \, \left ( \omega, t \right ) \in \mathbb R^2 , \; e^{-i \, \omega \, t}=\cos \left ( - \omega \, t \right ) + i \, \sin \left ( - \omega \, t \right ) = \cos \left ( \omega \, t \right ) - i \, \sin \left ( \omega \, t \right )$$
La transformée de Fourier de la fonction $f$ équivaut à une intégrale sur un intervalle fini : $$\forall \, \omega \in \mathbb R, \; \mathcal{F} \left [ f \right ] (\omega) = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} e^{-i \, \omega \, t} \; \text{d}t$$ Cette intégrale peut se décomposer en une partie réelle et une partie complexe : $$\forall \, \omega \in \mathbb R, \; \mathcal{F} \left [ f \right ] (\omega) = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} \cos \left ( \omega \, t \right ) \; \text{d}t - i \cdot \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} \sin \left ( \omega \, t \right ) \; \text{d}t$$ Donc si on cherche la transformée de Fourier $\mathcal F \left [ f \right ]$ de la fonction $f$ au point $\omega \in \mathbb R$, il suffit d'intégrer la fonction $t \mapsto \cos \left ( \omega \, t \right )$ sur l'intervalle $\left [ - \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right ]$. Graphiquement, voilà à quoi cela correspond : Alors on voit clairement que la transformée de Fourier d'une fonction porte est une fonction sinus cardinal : $$\text{sinc} : \omega \mapsto \left\{\begin{matrix}
\frac{\sin (\omega)}{\omega} & \text{ pour } \omega \in \mathbb R \setminus \left \{ 0 \right \} \\
1 & \text{ pour } \omega \in \left \{ 0 \right \} \; \; \; \; \; \;
\end{matrix}\right.$$ La fonction sinus cardinal est souvent prolongée en 0 par continuité, puisqu'on a : $$\lim_{\begin{matrix}
\omega \, \to \, 0\\
\omega \, < \, 0
\end{matrix}}
\frac{\sin (\omega)}{\omega} = \lim_{\begin{matrix}
\omega \, \to \, 0\\
\omega \, > \, 0
\end{matrix}}
\frac{\sin (\omega)}{\omega} = 1$$

Petite erreur de signe dans les fonctions trigonométriques, il fallait lire :

L'exponentielle utilisée dans la transformée est complexe : elle a donc une partie réelle et une partie imaginaire qui sont les fonctions cosinus et sinus correspondantes. $$\forall \, \left ( \omega, t \right ) \in \mathbb R^2 , \; e^{-i \, \omega \, t}=\cos \left ( - \omega \, t \right ) + i \, \sin \left ( - \omega \, t \right ) = \cos \left ( \omega \, t \right ) - i \, \sin \left ( \omega \, t \right )$$

Edit : Corrigé (darrigan)