[MATHS/PHYSIQUE] Théorème de Pythagore généralisé au tétraèdre

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brusicor02
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[MATHS/PHYSIQUE] Théorème de Pythagore généralisé au tétraèdre

Messagepar brusicor02 » 10 Nov 2016, 22:56

Soit un tétraèdre $\text{ABCD}$ tri-rectangle en $\text{D}$ (ce qui signifie que $\widehat{\text{ADB}}=\widehat{\text{BDC}}=\widehat{\text{CDA}}=\dfrac{\pi}{2}$)
On nomme $a$, $b$, $c$ et $d$ les aires respectives des faces $\text{BCD}$, $\text{ACD}$, $\text{ABD}$ et $\text{ABC}$.

Image
Démontrez la relation $d^2=a^2+b^2+c^2$.

(indice : gaz ;-))
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Re: [MATHS/PHYSIQUE] Théorème de Pythagore généralisé au tétraèdre

Messagepar brusicor02 » 12 Nov 2016, 22:19

Passons à la démonstration : je remplis mon tétraèdre de gaz jusqu'à obtenir une pression interne $P > 0$. On a alors l'apparition de forces de pression internes sur les quatre faces :
Image

Notre tétraèdre est immobile, donc les forces de pression interne se compensent : $$\overrightarrow{F_a}+\overrightarrow{F_b}+\overrightarrow{F_c} = - \overrightarrow{F_d}$$ en notant $\overrightarrow{F_k}$ la force qu'exerce le gaz sur la face $k$ du tétraèdre.

Passons à un petit peu de Pythagore avec les normes des vecteurs : $\overrightarrow{F_a}$ et $\overrightarrow{F_b}$ sont orthogonaux, donc $$\left | \overrightarrow{F_a} + \overrightarrow{F_b} \right |^2 = \left | \overrightarrow{F_a} \right |^2 + \left | \overrightarrow{F_b} \right |^2$$ De même, $\overrightarrow{F_c}$ est orthogonal au plan des vecteurs $\overrightarrow{F_a}$ et $\overrightarrow{F_b}$ : $$\left | \overrightarrow{F_a} + \overrightarrow{F_b} \right |^2 + \left | \overrightarrow{F_c} \right |^2 = \left | \overrightarrow{F_d} \right |^2$$ En conclusion, on a $$\left | \overrightarrow{F_a} \right |^2 + \left | \overrightarrow{F_b} \right |^2 + \left | \overrightarrow{F_c} \right |^2 = \left | \overrightarrow{F_d} \right |^2$$ Or la force de pression est définie par $F_k= P \times k$, ça équivaut à écrire : $$\left ( P \times a \right )^2 + \left ( P \times d \right )^2 + \left ( P \times c \right )^2 = \left ( P \times d \right )^2$$ qui, en simplifiant par $P^2$ donne l'égalité désirée : $$\boxed{a^2 + b^2 + c^2 = d^2}$$ CQFD, enfin CQLPAD :mrgreen:
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