Équation aux dimensions - Bombe atomique 16/07/45

[Lorris]

Bonsoir.

Je fais un exercice sur les équations aux dimensions et j'observe un résultat incohérent avec la réalité.
Je pense donc qu'il y a une faute quelque part que je n'arrive pas à la déceler.

données :
-$ p=K\rho^\alpha E^\beta t^\gamma $ tel que $ K $ est une constante qu'on ne cherche pas à déterminer
-$ v=20 $ km/s
-$ \rho=1.2 $ kg/m3
-$ E=8.2\times 10^{13} $ J
-valeurs de surpressions : $ 34.5 $ kPa (constructions détruites), $ 20.7 $ kPa (destruction des murs non renforcés), $ 6.9 $ kPa (personne renversée par l'onde de choc), $ 1 $ kPa (bris de vitre).

On me demande de calculer : la distance à laquelle on doit se trouver de la bombe pour être en sécurité

$ [p]=L^{-1}MT^{-2} $ $ [\rho]=ML^{-3} $ $ [E]=ML^{2}T^{-2} $ $ [t]=T $
j'ai donc l'équation aux dimensions suivantes : $ L^{-1}MT^{-2}=L^{\alpha+\beta}M^{-3\alpha+2\beta}T^{-2\beta+\gamma} $
à laquelle j'associe le système :
$ \left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} \alpha+\beta & 1 \\ -3\alpha+2\beta & -1 \\ -2\beta+\gamma & -2 \end{array} \right. $ $ \Longleftrightarrow $ $ \left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} \alpha & \frac{3}{5} \\ \beta & \frac{2}{5} \\ \gamma & \frac{-6}{5} \end{array} \right. $ (je vous laisse le vérifier si vous ne me croyez pas parce que j'avoue qu'il y a plus passionnant que d'écrire des systèmes en latex)

J'ai donc identifier mes exposants $ p=K\rho^\frac{3}{5} E^\frac{2}{5} t^\frac{-6}{5} $ pour répondre à la question j'ai besoin du rayon de l'onde de choc ("sphère") et je connais la vitesse de propagation de l'onde.
$ t=\dfrac{R}{v} $

Il vient : $ p=K\rho^\frac{3}{5} E^\frac{2}{5} R^\frac{-6}{5} v^\frac{6}{5} $ $ \Longleftrightarrow $ $ R=K^\frac{5}{6}\rho^\frac{1}{2} E^\frac{1}{3} p^\frac{-5}{6} v $

Voilà mon soucis : En faisant l'application numérique je trouve des valeurs de rayons de l'ordre de $ 2000 $ km pour être en sécurité de bris de glace et presque $ 600 $ km pour ne pas être renversé par l'onde de choc. Ces valeurs sont-elles cohérentes.

Je joins à cela un tableur avec toutes les données.

[darrigan]

Vérifie ton équation aux dimensions. Tu as confondu M et L pour E et $\rho$.

[Lorris]

je viens de revérifier et je n'ai pas l'impression d'avoir fait de faute ...

Enfin si tu as raison

j'ai écris

$ L^{-1}MT^{-2}=L^{\alpha+\beta}M^{-3\alpha+2\beta}T^{-2\beta+\gamma} $

au lieu de $ L^{-1}MT^{-2}=M^{\alpha+\beta}L^{-3\alpha+2\beta}T^{-2\beta+\gamma} $

mais le système est juste en revanche

[darrigan]

Ok !
Je bloque sur ton tableur : pas facile de comprendre où sont les cases de données et celles calculées. Et pour K tu prends quelle valeur ?

[Lorris]

C'est vrai que le tableur est très peu explicite pour les personnes extérieures à celle dans ma tête, à l'origine je ne projetais pas de l'associer au message mais bon . Alors les données du problème sont colonnes A, B donc C et L tout le reste est calculé.

Pour $ K $ je n'ai pas pris de valeur numérique du tout, je sais simplement qu'elle est adimensionnée.

[darrigan]

K est peut être sans dimension, mais cette constante vient multiplier ou diviser le résultat du reste de l'équation pour te donner un résultat. Or si tu poses K=1, voilà pourquoi tu obtiens des résultats qui paraissent aberrants. N'as-tu pas moyen de calculer K ?

Un peu comme si tu disais que volume d'une boule est $V=Kr^3$ en posant K=1...

[Lorris]

Je suis d'accord avec toi que sans $ K $ il y a forcément un écart par rapport à la valeur théorique que l'on devrait trouver.
Mais l'écart est minime cette constante dans le problème est négligeable.

Pour te donner un ordre de grandeur de mon erreur, dans mes calculs j'ai une distance limite pour le bris de vitre de 2940 km, dans l'un des docs de mon sujet je devrais trouver 19 m, il y a juste un minuscule facteur 150000 entre les deux . Ce n'est pas la valeur de $ K $ même élevée à la puissance $ \frac{5}{6} $ qui me ferait une différence aussi importante.

[darrigan]

dans mes calculs j'ai une distance limite pour le bris de vitre de 2940 km, dans l'un des docs de mon sujet je devrais trouver 19 m

Le document de ton sujet dit n'importe quoi ! A 19 mètres du point d'impact d'une bombe atomique, ce serait la limite pour le bris d'une vitre ? Non mais c'est une blague ? Tu imagines bien que 19 m est une valeur fausse.

[Lorris]

justement la question vis à vis de ce document est : Commenter

donc on a très bien la possibilité d'avoir un regard critique sur la question, effectivement 19 mètres pour une bombe atomique c'est ridicule quand bien même ce serait la première bombe de l'histoire.

Mais mes 3000 sont bien entendu beaucoup trop aussi ... Imagine qu'on lance une bombe à Paris et qu'on casse des vitres à la frontière entre la Géorgie/Turquie/Arménie. Même les bombes actuelles ne font pas tant de dégats

[Lorris]

Rappelons que je connais la valeur de $ E $ et $ R $ à une constante près.

$ E=R^5t^{-2}\rho K'^{-5} $ et $ R=K'\rho^{\frac{-1}{5}}E^{\frac{1}{5}}t^{\frac{2}{5}} $ (ce sont ces formules là, objets de questions précédentes, qui m'ont permis de faire le tableur.)

j'ai donc pensé que si je remplaçais $ E $ dans $ p=K\rho^\frac{3}{5} E^\frac{2}{5} t^\frac{-6}{5} $ je pourrais isoler mon R et trouver une relation avec les autres paramètres.

Chose faite : $ R=(KK'^{-2})^{\frac{-1}{2}} \rho^{\frac{-1}{2}} t p^{\frac{1}{2}}\approx \rho^{\frac{-1}{2}} t p^{\frac{1}{2}} $

Mais là encore nouveau problème je ne sais pas quelle valeur de $ t $ utiliser

[Lorris]

Je viens de trouver des valeurs beaucoup plus cohérentes.

98 km pour la limite du bris de vitre
51 km pour qu'une personne soit renversée par l'onde de choc
35 km pour la destruction des murs non renforcés et enfin
30 km pour toutes les constructions détruites

merci darrigan pour l'apport.

[darrigan]

Ça a l'air mieux. Comment as-tu trouvé ?

[Lorris]

j'ai écrit

J'ai donc identifier mes exposants $ p=K\rho^\frac{3}{5} E^\frac{2}{5} t^\frac{-6}{5} $ pour répondre à la question j'ai besoin du rayon de l'onde de choc ("sphère") et je connais la vitesse de propagation de l'onde. $ t=\dfrac{R}{v} $

toute mon erreur était là, de supposer que $ t=\dfrac{R}{v} $ ce qui n'est pas du tout en accord avec la véritable expression de $ t $ qui est $ t=K^\frac{5}{2}\rho^\frac{-1}{2} E^\frac{-1}{2} R^\frac{5}{2} $ (d'après des questions que j'avais préliminairement étudiée )

du coup en injectant cette expression de $ t $ dans $ p $, je suis retombé sur mes pieds