Constante de Madelung : halite (NaCl)
Publié : 21/01/2016, 19:36
Bonjour,
Dans un cristal binaire, les cations et les anions sont régulièrement disposés dans l'espace. Dans le cadre de la halite (une forme cristallisée du chlorure de sodium), les cations forment un réseau cubique face centrée et les anions occupent les sites octaédriques.
Prenons un des ions chlorure et calculons le potentiel extérieur ressenti causé par ses voisins :$$V_0 = \sum_{i \neq 0}^\text{ions} \frac{q_i \times \left | q_i \right | }{4 \pi \varepsilon_0 \; \left | r_i-r_0 \right |} = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0} \sum_{i \neq 0}^\text{ions} \frac{\text{sgn}(q_i)}{\left | r_i-r_0 \right |}$$ Du fait de la symétrie de translation du cristal, on peut même en déduite une série alternée convergeant lentement : $$V_0 = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0} \sum_{m \in \mathbb{Z}^\ast}\sum_{n \in \mathbb{Z}^\ast}\sum_{p \in \mathbb{Z}^\ast} \frac{(-1)^{m+n+p}}{\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$$ Mais la difficulté calculatoire ne doit pas nous repousser, on peut tenter de faire une première approximation géométrique. Ci-dessous, une représentation d'une maille d'halite (les ions sodium en rouge, les ions chlorure en bleu) avec une sphère indiquant les familles de nœuds équidistants de l'anion central.
On trouve alors le début de série suivant : $$M_\text{halite}=\sum_{i \neq 0}^\text{ions} \frac{\text{sgn}(q_i)}{\left | r_i-r_0 \right |} = \color{red}{\frac{6}{\sqrt{1}}} \color{blue}{- \frac{12}{\sqrt{2}}} \color{red}{+ \frac{8}{\sqrt{3}}} \color{blue}{- \frac{6}{\sqrt{4}}} \color{red}{+ \frac{24}{\sqrt{5}}} + ... \approx 1.747$$
Dans un cristal binaire, les cations et les anions sont régulièrement disposés dans l'espace. Dans le cadre de la halite (une forme cristallisée du chlorure de sodium), les cations forment un réseau cubique face centrée et les anions occupent les sites octaédriques.
Prenons un des ions chlorure et calculons le potentiel extérieur ressenti causé par ses voisins :$$V_0 = \sum_{i \neq 0}^\text{ions} \frac{q_i \times \left | q_i \right | }{4 \pi \varepsilon_0 \; \left | r_i-r_0 \right |} = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0} \sum_{i \neq 0}^\text{ions} \frac{\text{sgn}(q_i)}{\left | r_i-r_0 \right |}$$ Du fait de la symétrie de translation du cristal, on peut même en déduite une série alternée convergeant lentement : $$V_0 = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0} \sum_{m \in \mathbb{Z}^\ast}\sum_{n \in \mathbb{Z}^\ast}\sum_{p \in \mathbb{Z}^\ast} \frac{(-1)^{m+n+p}}{\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$$ Mais la difficulté calculatoire ne doit pas nous repousser, on peut tenter de faire une première approximation géométrique. Ci-dessous, une représentation d'une maille d'halite (les ions sodium en rouge, les ions chlorure en bleu) avec une sphère indiquant les familles de nœuds équidistants de l'anion central.
On trouve alors le début de série suivant : $$M_\text{halite}=\sum_{i \neq 0}^\text{ions} \frac{\text{sgn}(q_i)}{\left | r_i-r_0 \right |} = \color{red}{\frac{6}{\sqrt{1}}} \color{blue}{- \frac{12}{\sqrt{2}}} \color{red}{+ \frac{8}{\sqrt{3}}} \color{blue}{- \frac{6}{\sqrt{4}}} \color{red}{+ \frac{24}{\sqrt{5}}} + ... \approx 1.747$$