signe moins pour le temps

Pour tout ce qui traite des expériences de physique.
chemla
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signe moins pour le temps

Messagepar chemla » 15 Mai 2014, 08:21

Bonjour,
Je n'ai pas de connaissances en physique, si ce n'est d'avoir lu des livres de vulgarisation et écouté des conférences sur la toile récemment.
J'ai une question précise au sujet de l'espace-temps à 4 dimensions : j'ai entendu à plusieurs reprises que la théorie de la relativité était basée sur le fait qu'il fallait affecter la coordonnée temporelle d'un signe négatif et les trois coordonnées spatiales d'un coefficient positif. Je viens de le relire à l'instant sous une autre forme : il y a un tenseur qui est une matrice 4x4 ne contenant que des 1 sur la diagonale, un -1 en haut à gauche et trois +1 ensuite, j'imagine que la première coordonnée est le temps et que les 3 autres sont les coordonnées spatiales.
Je serais très contente si on pouvait m'expliquer pourquoi il faut faire ce choix, à quoi ça sert, à quoi cela peut correspondre intuitivement.
Cordialement,
Denise Chemla

Olivier
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Re: signe moins pour le temps

Messagepar Olivier » 16 Mai 2014, 21:40

Bonjour Denise,

en relativité, l'espace et le temps sont reliés par la constante "c" (qui s'avérera peut-être ne pas être la vitesse de la lumière si l'on trouve une masse au repos aux photons) appelée constante de structure de l'espace-temps : en tant de secondes, je peux au plus parcourir tant de mètres. L'espace et le temps ne sont plus indépendants, seul l'ensemble des deux, l'espace-temps, garde un sens.

L'espace-temps est un espace métrique, cela signifie que nous pouvons y définir la notion de distance (en thermodynamique, le diagramme de clapeyron, volume-pression, n'est pas un espace métrique : impossible de définir la distance entre deux points). L'espace-temps est métrique parce que "c" multipliée par un temps est homogène (a même unité) à une coordonnée d'espace.

Dans cet espace-temps à 4 dimensions, nous allons évidemment utiliser des vecteurs à 4 dimensions, appelés quadri-vecteurs ou 4-vecteurs (un vecteur est une notion très intuitive : c'est tout simplement une flêche, avec une longueur, une direction et un sens, par exemple on parle du vecteur vitesse d'une voiture. Si l'on a une origine d'un repère et un point, on peut définir un vecteur qui va de l'origine au point. Par conséquent, dans un espace à trois dimensions, il suffit d'avoir les trois coordonnées d'un point pour définir un vecteur). La première (ou la dernière selon la convention choisie) des coordonnées de ces 4-vecteurs sera la coordonnée temporelle, les autres étant des coordonnées spatiales. La norme d'un vecteur, autrement dit sa longueur, nous permet de définir une distance entre deux points, ces deux points étant les extrémités du vecteur.

Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même donne justement le carré de la norme de ce vecteur. Dans l'espace à trois dimensions, dans une base orthonormale, le produit scalaire d'un vecteur (x,y,z) avec lui-même s'écrit comme la somme des carrés de ses trois coordonnées : $ x^2+y^2+y^2 $, où l'on reconnait le théorème de Pythagore en trois dimensions donnant le carré de la distance entre deux points. Dans l'espace-temps, nous aurons quatre termes qui sont les carrés des quatre coordonnées, mais le premier (ou le dernier) devra être soustrait des autres (ce sera quand même un produit scalaire, car un produit scalaire est définit par un ensemble de propriétés à respecter) : $ -(ct)^2+x^2+y^2+y^2 $. L'intêret est le suivant : la norme d'un 4-vecteur aura la même valeur dans tous les référentiels galiléens, car il ne faut pas oublier qu'en relativité l'on passe d'un référentiel galiléen à un autre en utilisant la transformation de Lorentz (dans laquelle on "mélange" les coordonnées de temps et d'espace grâce à la constante "c"), qui n'est pas aussi simple que la transformation de Galilée (par exemple, si le déplacement relatif des observateurs d'inertie se fait selon l'axe des x, la transformation de Galilée s'écrit : t'=t et x'=x-Vt, y'=y, z'=z) utilisée en mécanique classique.

La distance dans l'espace-temps prend ansi un caractère absolu (qui n'est pas relatif à l'observateur), ce qui est bien pratique, puisqu'on ne peut plus s'appuyer sur les notions intuitives de temps et de distance purement spatiale. Les points de l'espace-temps sont appelés des évènements (ce terme est emprunté au langage commun, dans lequel un évènement est bien une chose qui arrive en un lieu à une certaine date). La distance entre deux évènements s'appelle un intervalle. On perd les deux invariants (un invariant ne varie pas par changement de référentiel) Galiléen que sont le temps et la distance spatiale, on récupère deux invariants, "c" et l'intervalle de deux évènements. Par contre, on perd définitivement le caractère intuitif de temps et d'espace, et donc de toute la physique. Pour nous aider, il ne reste que les maths, les observations, les expériences, et le fait qu'à faible vitesse l'on doive retrouver les résultats de la mécanique classique.

Une remarque à propos de "c". On la pose habituellement égale à 1, sans dimension (bien qu'elle vaille exactement 299792458 m/s) ! On mesure alors les distances en seconde (on dit parfois en seconde lumière), mais on pourrait tout aussi bien mesurer le temps en mètres. En effet, tout peut se mesurer en tout si l'on a la constante de passage. Ainsi, Coluche disait : "Cela faisait 2 litres de bière que j'attendais ma femme au bistro", et le temps se mesure en litres de bière. Reste à connaitre la constante de passage, c'est à dire le nombre de litres bus par heure.

chemla
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Re: signe moins pour le temps

Messagepar chemla » 19 Mai 2014, 18:03

Merci, j'ai presque compris.
Pour m'accrocher à du concret, pouvez-vous donc me dire l'intervalle entre deux événements tels que l'objet truc est en (x,y,z) à l'instant t et l'objet n'a pas bougé, donc est toujours en (x,y,z) à l'instant t+1.
Si tout devient contre-intuitif par cette convention du signe moins pour le temps, c'est dingue qu'ils y arrivent, ils sont donc si j'ai bien compris dans l'abstrait le plus pur !
Bien cordialement,
Denise

Olivier
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Re: signe moins pour le temps

Messagepar Olivier » 20 Mai 2014, 13:53

Avant de répondre à ta question, je voudrais expliquer comment on est amené à choisir un produit scalaire avec un signe négatif entre partie temporelle et partie spatiale.

Dans un référentiel R quelconque, on imagine un flash. La lumière se propage selon une sphère, avec la même vitesse "c" dans toutes les directions. A l'instant t, cette sphère a pour rayon ct, et pour équation, en utilisant le théorème de Pythagore en trois dimensions : $ x^2+y^2+z^2=(ct)^2 $, que l'on peut réécrire $ -(ct)^2+x^2+y^2+z^2=0 $. Dans tous les référentiels, les observateurs verront une sphère car la vitesse de la lumière ne peut être que "c" (ils ne verront jamais un ellipsoïde de lumière comme le prévoit la mécanique classique). Par exemple dans R' nous aurons : $ -(ct')^2+x'^2+y'^2+z'^2=0 $. Or, on peut faire correspondre à cette équation, la norme du 4-vecteur de composantes $ (ct,x,y,z) $, à condition de définir le produit scalaire avec un signe négatif. La norme de ce 4-vecteur est alors la même dans tous les référentiels, et vaut zéro.

Pour répondre à ta question, en changeant tes notations pour que ce soit plus clair :
Le premier évènement (noté 1) a pour coordonnées $ (ct_1,x_1,y_1,z_1) $. Le second a pour coordonnées $ (ct_2,x_2,y_2,z_2) $.
Le carré de l'intervalle "s" s'écrit : $ s_{12}^2=-c^2(t_2-t_1)^2+(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2 $

Avec tes valeurs :$ x_2=x_1, y_2=y_1, z_2=z_1 $ et $ t_2=t_1+1 $, on a :
$ s_{12}^2=-c^2 $
Et si l'on pose c=1, on a $ s_{12}^2=-1 $

Avec la convention que j'ai choisi, d'écrire $ -(ct)^2+x^2+y^2+z^2=0 $ plutôt que $ (ct)^2-x^2-y^2-z^2=0 $, si le carré de l'intervalle est négatif on dira que c'est un intervalle du genre "temps".
Si il avait été positif, on l'aurait appelé intervalle du genre "espace". Et enfin lorsqu'il est nul, il est du genre "lumière". Ces appellations ont une rapport avec la causalité : un évènement peut-il être la cause d'un autre évènement ? Pour qu'il le soit il faut que pendant la durée qui sépare les deux évènements, la lumière ait eu le temps de passer de l'un à l'autre. Pour un intervalle de genre temps, la partie temporelle est plus importante que la partie spatiale, la lumière a le temps de passer d'un évènement à l'autre, ils sont liés causalement (l'un est dans le futur de l'autre, et l'autre dans le passé de l'un). Lorsque l'intervalle est du genre espace, les évènements ne sont pas liés causalement, on dit qu'un évènement est dans l'ailleurs de l'autre évènement, ou dans sa région d'éloignement absolu (cette notion n'existe pas en mécanique classique ou les interactions se propagent à vitesse infinie). Par exemple, ce qu'il s'est passé sur le Soleil durant les 8 dernières minutes est ailleurs. Rien de ce qu'il s'y est passé ne nous a atteint, pas même la lumière.

Je précise que la convention de signe est dans le choix de mettre le signe négatif à la partie temporelle ou à la partie spatiale, mais le fait qu'il y ait un signe moins entre les deux parties n'est pas une convention.


(Edit de darrigan : Olivier, je me suis permis de rajouter les balises TeX pour que les équations soient plus jolies.)

chemla
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Re: signe moins pour le temps

Messagepar chemla » 20 Mai 2014, 22:25

Mince, mince, il faudrait réécrire ta réponse parce que toutes les formules n'apparaissent pas sur mon PC (est-ce parce que je suis sous ubuntu - vive le logiciel libre ! plutôt que sous microsoft, ou bien parce que j'utilise toujours firefox plutôt que microsoft, va-t-en savoir). Sinon prenom.nom je suis chez orange et tu peux me répondre directement dans la mesure où pour l'instant, tu as eu l'air d'être le seul intéressé par ma question.
Merci en tout cas, je ne perds pas espoir...
Cordialement,
Denise

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Re: signe moins pour le temps

Messagepar chemla » 22 Mai 2014, 18:16

Non, non, toujours pas, et ça ne marche pas non plus sur l'autre ordin, bizarre. Je suis sous ubuntu 12.10, je ne sais pas quelle version (Debian ou autre) car je ne connais rien à ces raffinements. J'ai pu voir les équations à toute vitesse hier midi, sous Mozilla mais j'aimerais bien les imprimer, n'hésitez pas à me renvoyer le source sur mail privé prenom.nom chez orange. Sur le forum les-mathematiques.net, l'insertion de code Latex fonctionne bien mais là, c'est autre chose encore, c'est ça ?
Merci de toute façon.
J'ai vraiment abandonné toute velléité d'y comprendre quelque chose...
Cordialement,
Denise

Olivier
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Re: signe moins pour le temps

Messagepar Olivier » 23 Mai 2014, 10:32

Bonjour Denise,

je vais te donner un exemple pour les intervalles de type temps, espace et lumière.
Imaginons deux pétards.
Lorsque l'un d'entre eux explose, c'est un évènement, c'est quelque chose qui a lieu quelque part à un moment donné (c'est un point de l'espace-temps).
On suppose deux choses : l'explosion d'un pétard crée de la lumière, et un pétard recevant de la lumière est susceptible d'exploser.
Dans une pièce sombre, on met deux pétards à 3m l'un de l'autre, autrement dit à une distance de 10 nanosecondes lumière.
On provoque l'explosion du premier pétard.

Si le second explose 10ns plus tard, c'est le cas limite ou cette explosion a pu être déclanchée par la première explosion (à condition ici que la réponse du second soit instantanée).
L'intervalle entre les deux explosions est du genre lumière.
La seconde explosion est dans le futur de la première, et la première est dans le passé de la seconde.

Si le second pétard explose plus de 10ns après le premier, cette explosion a pu être déclanchée par la première explosion.
L'intervalle entre les deux explosions est du genre temps.
La seconde explosion est dans le futur de la première, et la première est dans le passé de la seconde.

Si le second pétard explose moins de 10ns après le premier, cette explosion ne peut pas avoir été déclanchée par la première explosion,
car rien ne va plus vite que la lumière.
L'intervalle entre les deux explosions est du genre espace. Les explosions sont ailleurs l'une de l'autre,
elles ne sont ni dans le passé, ni dans le futur l'une de l'autre. Cette notion n'existe pas en physique classique, car il n'y a pas de vitesse limite pour la propagation des interactions.

Le problème ici n'est pas de savoir si c'est effectivement la première explosion qui a déclanché la seconde,
mais de savoir s'il est possible que la première ait déclanché la seconde (peut-elle en être la cause ?).
Cela n'est possible que si l'intervalle entre les deux évènements est du genre temps, et à l'extrême limite, du genre lumière.
Lorsque l'intervalle est du genre lumière, on dit que les évènements sont sur le même hypercône de lumière.
On peut en effet imaginer dans l'espace-temps, un hypercône de révolution en 4 dimensions, ayant pour sommet un évènement et pour génératrice un rayon de lumière. Il y a un très beau dessin sur Wikipédia à l'article "Cône de lumière".

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Re: signe moins pour le temps

Messagepar ecolami » 23 Mai 2014, 14:11

Bonjour,
Je ne suis pas physicien ni "matheux" mais j'apprécie beaucoup les explications d'Olivier :+1: :bravo:
Tri+traitement Produits chimiques 77 (Seine et Marne). Retraité depuis Octobre 2015
http://ami.ecolo.free.fr

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Re: signe moins pour le temps

Messagepar darrigan » 23 Mai 2014, 16:54

Olivier, c'est lumineux ! :+1: :+1:
Aide-toi et le forum t'aidera ! Image

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Re: signe moins pour le temps

Messagepar chemla » 29 Mai 2014, 12:31

Bonjour à tous,

Merci à Olivier pour toutes ses explications.

Cordialement,
Denise

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Re: signe moins pour le temps

Messagepar dchemla » 04 Juin 2015, 20:58

Bonsoir,

En ce moment, on trouve sur la toile toute une série d'articles de presse sur le fait que John Nash travaillait sur une équation en remplacement de celle de la relativité d'Einstein le mois passé.

Curieuse, j'ai fouillé un peu la toile et trouvé les éléments ci-dessous :
http://sites.stat.psu.edu/~babu/nash/
Le pdf contenant l'équation s'obtient en cliquant sur le lien du 28 octobre 2003, "an interesting equation..."

Est-ce que les experts en physique qui passent par là pourraient expliquer ce qu'il en est à la néophyte curieuse ?

Merci et bien cordialement,
Denise Chemla


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