scienceamusante.net

Bonjour,

Avec notre équipe, nous rencontrons un problème pour un projet d’école.

Nous avons besoin de récupérer la longitude et la latitude d’un satellite GPS en fonction du temps. Le but est de trouver une équation permettant d’avoir la latitude et la longitude du satellite pour tout t (en secondes minutes ou heure peu importe), c'est à dire ses coordonnées sphériques. L'altitude est quant à elle supposée constante, le satellite doit se situer en permanence à 20 000 km d’altitude de la Terre, qui elle est supposée parfaitement sphérique. L’équation de l’orbite doit donc décrire un cercle parfait, le mouvement est donc circulaire uniforme.

Nous avons déjà en notre possession la vitesse angulaire (qu'on suppose constante) ainsi que le rayon (20 000 km), et notre objectif sera de créer 6 orbites équitablement réparti comme vu sur le site suivant : http://subaru.univ-lemans.fr/AccesLibre ... /gps2.html
« Les satellites sont placés sur six orbites dont le plan est incliné de 55° par rapport au plan de l'équateur. Ces orbites sont décalées en longitude de 60° »

Cependant à partir de là, nous ne savons plus comment nous y prendre. Nous pensons avoir trouvé cette équation en 2D et en coordonnées cartésienne (https://fr.wikipedia.org/wiki/Mouvement ... e_uniforme)
x = r.cos(wt + θ)
y = r.sin(wt + θ)

Mais cela ne nous convient pas car nous l’aimerions en coordonnées sphériques (longitude-latitude pour le reste de notre projet).

Merci beaucoup si vous prenez le temps de nous aider,

Bien cordialement,

Charles.

Bonsoir,

Connais-tu les relations de passage des coordonnées cartésiennes $ ( x,y,z ) $ aux coordonnées sphériques $ ( \rho,\theta,\phi ) $ ?
Tu pourrais les utiliser :
$$\begin{cases}
\rho &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\
\theta &= \arccos\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \arccos\frac{z}{\rho}=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\
\varphi &=
\begin{cases}
\operatorname{arctan}(y/x) & \text{si } x > 0 \\
\operatorname{arctan}(y/x) + \pi & \text{si } x < 0 \\
\frac{\pi}{2} & \text{si } x=0
\end{cases}
\end{cases}$$


Mais puisque l'orbite est circulaire, alors $ \rho $ est une constante qui est égale au rayon de la Terre (supposé constant) + l'altitude de l'orbite.

Seuls les angles $ \theta $ et $ \phi $ varieront comme une fonction linéaire du temps.

Attention, si tu veux des coordonnées dans le système (altitude, latitude, longitude) = $ (h, \ell,\lambda) $, les formules de passage sont différentes des vraies coordonnées sphériques (ici, $ r $ est le rayon de la Terre supposé constant, et pas comme une géoïde) :
$$\begin{cases}
h &= \rho - r\\
\ell &= 90^\text{o} - \theta\\
\lambda &= \begin{cases}
\varphi & \text{si } \varphi \le 180^\text{o}\\
\varphi-360^\text{o} & \text{si } \varphi > 180^\text{o}\\
\end{cases}
\end{cases}
$$

Du coup, si l'altitude ne varie pas, alors $ h $ sera une constante, et seules les coordonnées $ \ell $ et $ \lambda $ varieront comme une fonction linéaire du temps.

Voir : https://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn% ... 3%A9riques

Remarque : attention, la variable $ \theta $ utilisée ici n'est pas la même chose que le $ \theta $ que tu as utilisé dans ton message, lequel est simplement une phase.