Salut à tous !
Malgré une démonstration succinte, je pense que c'est Chatelot16 qui a trouvé la bonne réponse, c'est à dire que la vitesse ne change rien. Pour vous en convaincre, je vais essayer de le montrer de deux manières différentes : la première est "statistique" et la deuxième s'appuie sur le raisonnement de Darrigan.
Avant toute chose, je définis le "mouillage", noté
M, et égal au nombre de goutte d'eau qui ont touché le visage.
1ere méthode :
On définit la densité moyenne de goutte d'eau,
n, en nb de gouttes d'eau par unité de volume. On suppose que les gouttes sont fixes et que c'est l'homme qui avance à la vitesse v. On se fiche donc de la vitesse des gouttes, car on suppose que statistiquement, elles sont perpétuellement remplacées.
Pendant un temps élémentaire dt, le nombre de gouttes d'eau qui ont traversé le visage de surface S, peut s'ecrire comme un flux à travers une surface :
$ dM = \iint\limits_S \,n*\vec{v}\ * \vec{dS}\ * dt = n*v*S*dt $
( $ \vec{dS} $ est le vecteur surface élémentaire, orthogonal par rapport au visage)
(intuitivement : pendant dt, le visage a parcouru la distance $ v*dt $ En multipliant par $ S $, on obtient le volume du pavé droit qui définit le volume "coupé" par le visage de l'homme. Il reste à multiplié par n, et on obtient le nombre de goutte qui ont traversé le visage de l'homme.)
On sait que l'homme va marcher pendant une durée $ T=\frac{L}{v} $. A la fin de sa marche, on a donc :
$ M=\int^T_0 dM = \left[n*v*S*t \right]_0^T = n*v*S*\frac{L}{v} = n*S*L $
(intuitivement : S*L définit le pavé droit qui définit le volume "coupé" par le visage de l'homme. Il reste à multiplié par n, et on obtient le nombre de goutte qui ont traversé le visage de l'homme.)
On voit donc que M est indépendant de la vitesse !
2ème méthode :
La démonstration commence comme celle de Darrigan :
Plaçons-nous dans le repère fixe de la personne. La composante verticale de la vitesse de la pluie reste égale à u. Sa composante horizontale devient égale à v. La vitesse de la pluie est donc $ \vec{h}=\vec{u}+\vec{v} $, dirigé vers le visage.
On peut définir un vecteur densité de pluie : $ \vec{p} = n*\vec{h} $ (qui correspond par exemple à $ \vec{j} $ le vecteur densité de courant pour I)
Alors, pendant une durée dt :
$ dM = \iint\limits_S \,\vec{p}\ * \vec{dS}\ * dt = \iint\limits_S \,n*(\vec{u}+\vec{v}) * \vec{dS}\ * dt = \iint\limits_S \,n*\vec{v} * \vec{dS}\ * dt = n*v*S*dt $ on trouve la même chose que tout à l'heure.
Par rapport à la démonstration de Darrigan, le $ sin(A) $ intervient dans mon produit scalaire $ \vec{p}\ * \vec{dS} $, et le $ \frac{L}{v} $ apparaîtra à l'integration entre 0 et T. Selon moi, le seule problème est que tu ne prend pas en compte la densité de goutte.
Intuitivement, la formule $ M=\frac{L}{\sqrt{u^2+v^2}} $ pose un problème : s'il tombe quelques gouttes à une vitesse lente, on sera plus mouillé que s'il tombe un déluge à une vitesse rapide.
J'espère que ma démonstration est claire. Si vous avez des questions ou des objections n'hésitez pas, je ne prétend pas détenir LA solution
)
c'est vraiment un exercice de physique de math spé ça...
